martes, 12 de abril de 2011

Daniel Bernoulli y la Teoría de la Utilidad Esperada

Alrededor de mediados del siglo XVII se había planteado el problema de formular un marco teórico consistente que permitiera analizar problemas vinculados a lo que hoy podríamos llamar la toma de decisiones microeconómicas bajo incertidumbre. La motivación se originó por varios problemas derivados de los juegos de azar, de la emisión de seguros y de bonos a perpetuidad y de otros problemas vinculados a las finanzas.

El principio que comenzó a utilizarse y generalizarse como expresión de la previsión de los posibles resultados inciertos fue el del valor esperado, desarrollado por Fermat y Pascal en su tratamiento del “problema de los puntos”, problema propuesto por el Chevalier de Méré a Blaise Pascal alrededor del año 1650, que consistía en encontrar la forma más justa de dividir una apuesta hecha en un juego de azar, antes de que este llegara a su fin, entre los dos jugadores. Pascal planteó a su vez este problema a Pierre de Fermat, quien propuso como solución tener en cuenta el valor esperado del resultado del juego para cada uno de los jugadores dada la instancia en que el juego se interrumpe, dividiendo entonces la apuesta entre ambos en proporción a sus chances de ganarlo, es decir, cada uno debía llevarse el monto correspondiente al valor esperado de su apuesta en ese momento. La forma de calcular este valor esperado era multiplicando lo que cada uno podía ganar o perder por el número de maneras en que cada uno de estos resultados podía suceder y luego dividiendo este producto por el número total de maneras en que el juego podía ocurrir. (History of the Mathematical Theory of Probability, de Todhunter, publicado en 1865, es el libro donde mejor se exponen los detalles acerca de cómo Pascal y Fermat fueron obteniendo estas conclusiones).

A través de las obras posteriores de Christian Huygens, De Ratiociniis in Ludo Alae, de 1657, y de Jacob Bernoulli (también conocido como James o Jacques), Ars Conjectandi, publicado en 1713 (pero desarrollado alrededor de 1700 y 1705), se generalizó el concepto de valor esperado, y se utilizó como medida de la expectativa que debería tenerse sobre los resultados posibles de situaciones caracterizadas por la incertidumbre.

El primero en proponer una crítica de la utilización del valor esperado en situaciones que implicaran costos y beneficios monetarios inciertos fue Daniel Bernoulli (sobrino de Jacob). Daniel Bernoulli comienza su memoria Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis, publicada en 1738 por la Academia de San Petersburgo (traducida al inglés y publicada en 1954 en Econometrica Vol. 22 Nro. 1 como “Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk”), diciendo lo siguiente:

“EVER SINCE mathematicians first began to study the measurement of risk there has been general agreement on the following proposition: Expected values are computed by multiplying each possible gain by the number of ways in which it can occur, and then dividing the sum of these products by the total number of possible cases where, in this theory, the consideration of cases which are all of the same probability is insisted upon. If this rule be accepted, what remains to be done within the framework of this theory amounts to the enumeration of all alternatives, their breakdown into equiprobable cases and, finally, their insertion into corresponding classifications.”

Pero a pesar de que el valor esperado era útil para varias de las circunstancias en que se necesitaba expresar una expectativa incierta, D. Bernoulli opinaba que fallaba a la hora de medir el impacto de la incertidumbre o de la suerte (“mensura sortis”) en las situaciones o decisiones que involucraban aspectos vinculados a la riqueza de las personas, en particular cuando los posibles resultados pudieran implicar importantes variaciones de la misma. El supuesto básico de D. Bernoulli va a ser que la percepción del riesgo por cada individuo es diferente, y está en relación inversa a su nivel de riqueza: por ejemplo, ante la propuesta de apostar una determinada cantidad de dinero en un juego de azar, una persona rica percibirá un riesgo menor que una persona pobre, dado que en caso de ganar o perder, la persona rica no sufre grandes modificaciones de su nivel de riqueza mientras que la persona pobre sí.

Es decir, D. Bernoulli afirma que es necesario incorporar a la idea tradicional de Pascal y Fermat de valor esperado de los posibles resultados pecuniarios de una situación azarosa, una noción de valoración subjetiva de estos posibles resultados, noción que llamará emolumentum (la cual se ha traducido como utilidad, pero que podemos traducir también como ganancia, beneficio, gratificación o ventaja), y que es una función de la cantidad de riqueza poseída, con la particularidad de que a medida que esta aumenta, su emolumentum aumenta, pero menos que proporcionalmente. Explícitamente, Bernoulli afirma que cada persona estima sus pronósticos de cualquier exposición al riesgo a la luz de sus circunstancias financieras específicas , motivando esta afirmación con el siguiente comentario:

“Somehow a very poor fellow obtains a lottery ticket that will yield with equal probability either nothing or twenty thousand ducats. Will this man evaluate his chance of winning at ten thousand ducats? Would he not be ill-advised to sell this lottery ticket for nine thousand ducats? To me it seems that the answer is in the negative. On the other hand I am inclined to believe that a rich man would be ill-advised to refuse to buy the lottery ticket for nine thousand ducats. If I am not wrong then it seems clear that all men cannot use the same rule to evaluate the gamble.”

Es decir, rechaza la idea de computar el valor de una determinada exposición al riesgo como la esperanza matemática de esa exposición, afirmando que el valor esperado debe ser diferente de la esperanza matemática, en donde la noción de valor no se refiere a un número o una cantidad abstracta sino a la noción de emolumentum:

“But anyone who considers the problem with perspicacity and interest will ascertain that the concept of value which we have used in this rule may be defined in a way which renders the entire procedure universally acceptable without reservation. To do this the determination of the value of an item must not be based on its price, but rather on the utility it yields. The price of the item is dependent only on the thing itself and is equal for everyone; the utility, however, is dependent on the particular circumstances of the person making the estimate. Thus there is no doubt that a gain of one thousand ducats is more significant to a pauper than to a rich man though both gain the same amount.”

Lo que D. Bernoulli afirma es que así como el precio de un bien se diferencia de su valor, en el sentido de que mientras el precio es el mismo para todos (todo el mundo enfrenta en el mercado el mismo precio de un bien particular), su valor (su utilidad) no es igual para todos (es más, por lo general cada uno asignará un valor diferente a un mismo bien), de la misma manera hay que diferenciar lo que sería la esperanza matemática de la noción de valor esperado, ya que mientras la esperanza matemática no depende de circunstancias subjetivas, el valor esperado, (o la utilidad esperada) sí lo hace, y esto es algo esencial al momento de analizar el comportamiento de las personas frente al riesgo.

La nueva regla que propone D. Bernoulli para estimar una medida del valor incierto de los posibles resultados que afectarán a la persona que enfrenta la incertidumbre, es la siguiente:

“If the utility of each possible profit expectation is multiplied by the number of ways in which it can occur, and we then divide the sum of these products by the total number of possible cases, a mean utility [moral expectation] will be obtained, and the profit which corresponds to this utility will equal the value of the risk in question.”

D. Bernoulli llama emolumentum medium a lo que ha sido traducido como utilidad esperada (por la traducción americana del Specimen Theoriae Novae) o expectativa moral (traducción de Laplace en su Theorie) y aclara que no puede obtenerse ninguna medida válida del valor del riesgo si no se considera su emolumentum (o utilidad) para la persona que lo enfrenta, postulando como hipótesis general, que:

“it is highly probable that any increase in wealth, no matter how insignificant, will always result in an increase in utility which is inversely proportionate to the quantity of goods already possessed.”

El emolumentum medium es definido por Bernoulli como el promedio ponderado de todos los emolumentum que pueden resultar de la situación incierta, siendo cada ponderador igual al número de maneras diferentes en que cada resultado puede acontecer dividido por el número de maneras diferentes en que todos los resultados posibles pueden acontecer. Es decir, si suponemos que las cantidades u(r1), u(r2), …, u(rN), son los emolumentum de cada resultado posible, o sus utilidades, y cada uno de estos resultados puede acontecer de m1, m2, …, mN, maneras diferentes, entonces el emolumentum medium, no es otra cosa que el siguiente ratio:

em = (m1.u(r1) + m2.u(r2) + ... + mN.u(rN)) / (m1 + m2 + ... + mN)

Lo que en notación de probabilidades y utilidades indicaríamos como:

utilidad esperada = E(u) = p1.u(r1) + p2.u(r2) + ... + pN.u(rN)

donde cada coeficiente de los posibles emolumentum es la probabilidad de ocurrencia de cada resultado, es decir, el cociente entre la cantidad de maneras diferentes en que puede ocurrir un resultado particular y la cantidad de maneras diferentes en que pueden ocurrir todos los resultados posibles.

Definidos entonces los conceptos de emolumentum o utilidad y de emolumentum medium, o utilidad esperada, D. Bernoulli analiza cómo es la percepción del riesgo por parte de las personas y explica cuales son las derivaciones para una teoría del comportamiento en situaciones de incertidumbre. La forma en que analiza la cuestión del comportamiento frente al riesgo se basa en su postulado de la forma funcional de la función de utilidad de la riqueza, que captura la idea de utilidad marginal decreciente del ingreso.

Una persona con este tipo de función de utilidad expuesta a la alternativa de ganar o perder una suma de dinero con igual probabilidad, o recibir de forma segura la esperanza de estos pagos, siempre rechazará la apuesta, prefiriendo el pago seguro. Tanto es así que incluso preferirá recibir con seguridad una cantidad menor que la esperanza de los pagos, a la alternativa del juego (ver apéndice matemático). El valor de dinero recibido con seguridad para el cual la persona está indiferente entre jugar o no jugar se conoce como equivalente cierto del juego, y es un concepto de importancia en la teoría de las decisiones bajo incertidumbre. D. Bernoulli fue el primero en presentar esta idea en su memoir de 1738.

Otra derivación importante de su teoría y que se dedica a exponer con detalle es la idea de diversificación:

“Another rule which may prove useful can be derived from our theory. This is the rule that it is advisable to divide goods which are exposed to some danger into several portions rather than to risk them all together.”

A partir de su explicación de la paradoja de San Petersburgo, D. Bernoulli presentó por primera vez las nociones de utilidad esperada, equivalente cierto de un juego y conveniencia de la diversificación. En las dieciocho páginas de su Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis, sentó las bases de la moderna teoría de las decisiones bajo incertidumbre.

Laplace dedico varios pasajes de su Théorie Analytique des Probabilités a la exposición de las ideas del Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis de D. Bernoulli. Fue a través de la obra de Laplace que comenzaron a divulgarse entre los probabilistas y filósofos morales europeos del siglo XIX las ideas de D. Bernoulli vinculadas al valor y al riesgo. Tanto Cournot como Jevons abrevaron en estas ideas. Cournot publica en 1843 su Exposition de Théorie des Chances et des Probabilités, en la que aparte de presentar los principales resultados de la teoría de la probabilidad hasta el momento conocidos, incorpora las ideas de D. Bernoulli en su capítulo Du marché aléatoire, donde presenta las aplicaciones de la teoría de la probabilidad a cuestiones de economía. Jevons, por su parte, en The Theory of Political Economy de 1871 presenta a D. Bernoulli como uno de los padres de la teoría de la utilidad, y en su obra Principles of Science: A treatise on logic and scientific method, de 1874 dedica varios capítulos al tema de la probabilidad, principalmente desde el punto de vista de la lógica del conocimiento.